关于若干图类的指示染色

指示染色是一种博弈染色，其中两名玩家以如下方式共同为图的顶点染色：每一轮第一名玩家（Ann）选择一个顶点，然后第二名玩家（Ben）使用固定的颜色集对其进行正常染色。Ann 的目标是完成整张图的正常染色，而 Ben 试图阻止这一目标的实现。无论 Ben 采取何种策略，Ann 为在图 $G$ 上赢得该博弈所需的最少颜色数称为 $G$ 的指示色数，记为 $\chi_i(G)$。本文中，我们得到了含诱导 $C_5$ 的连通 $\{P_5,K_4,Kite,Bull\}$-自由图以及含诱导 $C_6$ 的连通 $\{P_6,C_5, K_{1,3}\}$-自由图的结构刻画。此外，我们证明了含诱导 $C_5$ 的 $\{P_5,K_4,Kite,Bull\}$-自由图以及含诱导 $C_6$ 的 $\{P_6,C_5,\overline{P_5}, K_{1,3}\}$-自由图对所有 $k\geq\chi(G)$ 是 $k$-指示可染的。另外，我们表明 $\mathbb{K}[C_5]$ 对所有 $k\geq\chi(G)$ 是 $k$-指示可染的，并由此证明 $\{P_2\cup P_3, C_4\}$-自由图、$\{P_5,C_4\}$-自由图对所有 $k\geq\chi(G)$ 是 $k$-指示可染的。这部分回答了 A. Grzesik 在 \cite{and} 中提出的其中一个问题。