关联着色博弈与图的树荫度

图 $G$ 的一个关联是指一对 $(v,e)$，其中 $v$ 是 $G$ 的一个顶点，$e$ 是与 $v$ 关联的一条边。只要 $v = w$，或 $e = f$，或 $vw = e$ 或 $f$，两个关联 $(v,e)$ 和 $(w,f)$ 即为相邻。关联着色博弈 [S.D. Andres, The incidence game chromatic number, Discrete Appl. Math. 157 (2009), 1980-1987] 是普通着色博弈的一种变体，其中两名玩家 Alice 和 Bob 轮流使用给定数量的颜色对图的关联进行着色，使得相邻关联获得不同颜色。如果整个图被着色，则 Alice 赢得博弈，否则 Bob 获胜。图 $G$ 的关联博弈色数 $i_g(G)$ 是 Alice 在 $G$ 上进行关联着色博弈时拥有获胜策略所需的最小颜色数。Andres 证明了对于每个 $k$-退化图 $G$，有 $i_g(G) \le 2\Delta(G) + 4k - 2$。图 $G$ 的树荫度 $a(G)$ 是其边集可划分成的森林的最小数量。如果 $G$ 是 $k$-退化的，则 $a(G) \le k \le 2a(G) - 1$。本文证明了对于每个图 $G$，有 $i_g(G) \le \lfloor\frac{3\Delta(G) - a(G)}{2}\rfloor + 8a(G) - 2$，其中 $a(G)$ 代表 $G$ 的树荫度，从而改进了 Andres 给出的界，因为对于每个 $k$-退化图 $G$ 都有 $a(G) \le k$。由于存在满足 $i_g(G) \ge \lceil\frac{3\Delta(G)}{2}\rceil$ 的图，我们这一界的乘法常数是最优的。