有限域 $\mathbb{F}_q [T]$ 上 Dirichlet $L$-函数的 Euler-Hadamard 混合乘积公式

对于 $\mathbb{F}_q [T]$ 上的 Dirichlet $L$-函数，我们得到了一个 Euler-Hadamard 混合乘积公式。我们提出一个分裂猜想，即模为 $R$ 的本原特征标上平均的 Dirichlet $L$-函数在 $\frac{1}{2}$ 处的 $2k$ 阶矩（当 $\mathrm{deg} R \longrightarrow \infty$ 时）渐近于 Euler 乘积的 $2k$ 阶矩乘以 Hadamard 乘积的 $2k$ 阶矩。我们显式地给出了 Euler 乘积的 $2k$ 阶矩的主项，并借助随机矩阵理论猜想了 Hadamard 乘积的 $2k$ 阶矩的主项。结合分裂猜想，这直接导出了关于 Dirichlet $L$-函数 $2k$ 阶矩的猜想。最后，我们通过证明 $k=1,2$ 的情形为分裂猜想提供了支持。本工作是 Bui 和 Keating 工作的函数域类比。函数域情形一个显著的差异在于 Euler-Hadamard 乘积公式是精确的，即不存在误差项。