自引力有质量场 Minkowski 时空的全局非线性稳定性:波动-Klein-Gordon 模型

本文推广了作者于 2014 年引入的双曲叶状化方法(Hyperboloidal Foliation Method),并将其应用于广义相对论的 Einstein 方程。具体而言,我们确立了自引力有质量标量场下 Minkowski 时空的非线性稳定性,而现有方法仅适用于无质量标量场。首先,通过分析波坐标下 Einstein 方程的结构,我们展示了一个定义在弯曲背景上的非线性波动-Klein-Gordon 模型,这是本文的核心。对于该模型,当初值具有足够小的 Sobolev 范数时,我们证明了 Cauchy 问题全局时间解的存在性。主要困难在于,有质量标量场的存在使得 Minkowski 时空的共形 Killing 场类显著缩减,因为缩放向量场对 Klein-Gordon 算子而言不是共形 Killing 的。我们的方法依赖于 Minkowski 时空(光锥内部)被双曲超曲面叶状化,并使用了 Lorentz 不变能量范数。我们引入了一个适应于双曲叶状化的向量场标架,并建立了若干关键性质:双曲面上的 Sobolev 与 Hardy 型不等式,以及对应于波动方程与 Klein-Gordon 方程锐时间衰减的上确界范数估计。这些估计使我们能够区分两个正则性与能量增长层级,并通过连续使用我们的关键估计来控制与弯曲几何及有质量场相关的交互项,从而闭合一个自举论证。