Bing 对合的几何性质

1952 年 Bing 发表了 3 球面 $S^3$ 的一个野（不与光滑情形拓扑共轭）对合 $I$。但它究竟有多野，从解析角度看？我们证明任何与 $I$ 拓扑共轭的对合 $I^h$ 必具有近乎指数的连续模。具体而言，给定任意 $\alpha>0$，存在一列趋于零的 $\delta$（$\delta > 0$）以及点 $x,y \in S^3$ 满足 dist$(x,y) < \delta$，却有 dist$(I^h(x), I^h(y)) > \epsilon$，其中 $\delta^{-1} = e^{\left(\frac{\epsilon^{-1}}{\log^{(1+\alpha)}(\epsilon^{-1})}\right)}$，dist 为 $S^3$ 上通常的黎曼距离。特别地，$I^h$ 拉伸距离的程度远超 Lipschitz 函数（$\delta^{-1} = c\epsilon^{-1}$）或 Hölder 函数（$\delta^{-1} = c^\prime(\epsilon^{-1})^{p}$，$1 < p < \infty$）。Bing 对 $I$ 的原始构造及已知替代方案（见正文）具有连续模 $\delta^{-1} > c \sqrt{2}^{\epsilon^{-1}}$，因此该定理相当紧——我们证明连续模至少是指数级（至多差一个多对数），而真实情况可能是完全指数级。实际上，证明中得出的 $\delta^{-1}$ 函数可取得比此处所述略接近指数（见定理 1）。利用相同技巧我们分析了一大类“分支”Bing 对合，并作为一个系定理表明：给定任意函数 $f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$，无论其增长多快，我们都能找到 3 球面对应的对合 $J$，使得 $J$ 的任何拓扑共轭 $J^h$ 必具有增长快于 $f$（在无穷远处）的连续模 $\delta^{-1}(\epsilon^{-1})$。关于内在可微性已有文献（正文引述），但据作者所知，内在连续模这一主题是新的。