二元分支过程中一个样本的谱系

在时间0，启动一个时间连续的二元分支过程，其中粒子独立地（以可能依赖于时间的速率）产生一个单粒子并独立地（以可能依赖于时间和年龄的速率）死亡。一个特例是经典的生灭过程。在时间 $T>0$ 停止此过程。已知由此获得的、由在时间 $T$ 存活的 $N$ 个末端所张成的树（称为缩减树或溯祖树）是一个溯祖点过程（CPP），这基本上意味着内部节点的深度是独立同分布的。现在以概率 $y$ 独立地选择每个末端（伯努利样本）。已知由所选末端生成的树，我们称之为伯努利抽样CPP，仍然是一个CPP。现在改为在 $N$ 个末端中均匀随机地恰好选择 $k$ 个末端（$k$-样本）。我们证明，由所选末端生成的树是伯努利抽样CPP的混合，这些伯努利抽样CPP具有相同的父CPP，混合分布为抽样概率 $y$ 的某个显式分布。一个直接的推论是，一个 $k$-样本的谱系可以通过实现 $k$ 个随机变量来获得，首先是随机抽样概率 $Y$，然后是 $k-1$ 个节点深度，这些深度在给定 $Y=y$ 的条件下是独立同分布的。