通过脊分解的基因谱系收敛及其在群体遗传学中的应用

考虑取值于某一般类型空间的分支马尔可夫过程。在存活至第 $N$ 代的条件下，现存群体的基因谱系定义了一个随机标记度量测度空间，其中个体由其类型标记，两两距离由最近共同祖先的时间度量。在本稿件中，我们设计了一种一般的矩方法，以证明当 $N \to \infty$ 时此类谱系在 Gromov-弱拓扑下的收敛性。直观地说，群体的 $k$ 阶矩通过以下方式获得：在时刻 $N$ 以群体的第 $k$ 阶乘矩对其规模偏置后，均匀随机选取 $k$ 个个体并观测其谱系。我们表明，所采样的谱系可用原分支过程的 $k$-脊分解表示，且收敛性可归约为底层 $k$-脊的收敛性。作为我们框架的示例，我们分析了带重组的双亲 Wright-Fisher 模型的分支近似的大时间行为。该模型展现出一些有趣的数学特征：它起始于超临界状态，但被自然地驱动至临界性。我们表明其极限行为同时展现出临界与超临界特征。