通过时间重标度刻画重构出生死亡过程

呈现指数增长的种群动态可建模为出生死亡过程，该过程自然地捕捉了种群规模随时间的随机变化。在本文中，我们考虑一个超临界出生死亡过程，其在过去某一随机时刻启动，并条件于在当前有 $n$ 个被抽样个体。在当前时刻抽样的个体的系谱由反向重构过程（RRP）描述，该过程从当前时刻向后追踪样本祖先。我们表明，对 RRP 进行简单的解析时间重标度，提供了一种推导其事件间隔时间的直接方法。同样的重标度刻画了该过程背后的其他分布，这些分布在文献中通过更繁琐的计算获得。我们还考虑了种群不完全抽样的情况，其中系谱的每个叶节点以独立的伯努利试验以概率 $\psi$ 保留，并表明使用时间重标度可推导伯努利抽样 RRP 的相应结果，适用于底层参数的任意取值。一个核心结果是利用时间重标度形式推导了当 $\psi$ 趋近于 0（对应于底层种群增长至无穷）时的标度极限。我们表明，在此设定下，经过线性时间重标度后，事件时间为 $n$ 个逻辑斯谛随机变量的顺序统计量，其众数为 $\log(1/\psi)$；此外，我们表明事件间隔时间近似服从指数分布。