次序统计量的傅里叶变换及其在 Lorentz 空间中的应用

我们给出 $\Bbb R^n$ 中次序统计量的傅里叶变换公式，表明所有这些傅里叶变换在 $\Bbb R^n$ 的坐标平面外除常数倍外相等。对于 $a_1\geq ... \geq a_n\ge0$ 和 $q>0$，记 $\ell_{w,q}^n$ 为具有范数 $\|(x_1,...,x_n)\| = (a_1 (x_1^{*})^q +...+ a_n (x_n^{*})^q)^{1/q}$ 的 $n$ 维 Lorentz 空间，其中 $(x_1^{*},...,x_n^{*})$ 是数 $|x_1|,...,|x_n|$ 的非增排列。我们利用上述公式以及 Banach 空间等距嵌入 $L_q$ 的傅里叶变换判别法 \cite{10} 证明：对于 $n\geq 3$ 和 $q\leq 1$，空间 $\ell_{w,q}^n$ 等距于 $L_q$ 的子空间当且仅当数 $a_1,...,a_n$ 构成等差数列。对于 $q>1$，所有数 $a_i$ 必须相等，从而 $\ell_{w,q}^n = \ell_q^n$。进而，Lorentz 函数空间 $L_{w,q}(0,1)$ 等距于 $L_q$ 的子空间当且仅当{\it 要么} $0<q<\infty$ 且权函数 $w$ 为常数函数（从而 $L_{w,q}= L_q$），{\it 要么} $q\le 1$ 且 $w(t)$ 为递减线性函数。最后，我们将结果与正定函数理论相联系。