同调球的面数

$g$ 定理是组合学中的一项重大成果，给出了单纯凸多面体面数的完整数值刻画。$g$ 猜想断言，$g$ 定理中给出的相同数值条件也能刻画所有单纯球，甚至更一般地，所有单纯同调球的面数。在本文中，我们证明了单纯 $\mathbb{R}$-同调球的 $g$ 猜想。我们证明中的一个关键思想是多面体复合体的一种新代数结构。给定多面体 $d$-复形 $\Delta$，我们利用刚性理论的思想，在 $\Delta$ 于 $\mathbb{R}^d$ 中的 PL 实现 $\nu$ 上构造了一个分次 Artinian $\mathbb{R}$-代数 $\Psi(\Delta,\nu)$ 的应力，其中允许重叠的已实现 $d$-面。特别地，我们证明了如果 $\Delta$ 是单纯 $\mathbb{R}$-同调球，那么对于一般的 PL 实现 $\nu$，应力代数 $\Psi(\Delta,\nu)$ 是 Gorenstein 的，并且具有弱 Lefschetz 性质。