某些二维欧几里得量子场论的椭圆随机量子化

我们研究了一类在 $\mathbb{R}^2 \times M$ 上带有加性高斯噪声的椭圆随机偏微分方程（SPDE），其中 $M$ 是一个配备正 Radon 测度的 $d$ 维流形，非线性项为实值，由一个光滑势 $V$ 的导数给出，该势在无穷远处凸且至多指数增长。对于相当一般的系数和适当的噪声正则性，我们通过之前关于该主题的论文中讨论的降维原理，得到了在原点处求值的 SPDE 解的概率律与抽象 Wiener 空间 $L^2 (M)$ 上的 Gibbs 型测度之间的恒等式。然后将结果应用于 $\mathbb{T}^2$ 上具有多项式相互作用的标量场的椭圆随机量子化方程，以及 $\mathbb{R}^2$ 上具有指数相互作用的标量场（文献中也称为 H{\o}eg-Krohn 或 Liouville 模型）。特别地，对于指数相互作用的情况，推导了 $\mathbb{R}^{2 + 2}$ 上椭圆方程解的存在性和唯一性，以及“电荷参数” $\sigma = \frac{\alpha}{2\sqrt{\pi}} < \sqrt{4 \left( 8 - 4 \sqrt{3} \right) \pi} \simeq \sqrt{4.23\pi}$ 值的降维结果，对于该值，模型具有欧几里得不变概率测度（因此也允许在二维 Minkowski 空间上得到相应的相对论不变模型）。