NLS 族中保守峰子的动力学

利用三哈密顿分裂方法，[Anco and Mobasheramini, Physica D, 355:1--23, 2017] 的作者推导出了两个源于非线性薛定谔方程族且容许峰子（$non-smooth\ solitons$）的 $U(1)$-不变非线性偏微分方程。本文中，将这两个峰子偏微分方程推广为一族由实射影直线 $\mathbf{RP} ^1$ 参数化的 $U(1)$-不变峰子偏微分方程。证明该族中所有方程均具有 $conservative\ peakon \ solutions$（其 Sobolev $H^1(\mathbf{R})$ 范数随时间不变）。辨识了保守峰子部分的哈密顿结构，并证明峰子常微分方程为相对于若干泊松结构的哈密顿系统。表明在 [Anco and Mobasheramini, Physica D, 355:1--23, 2017] 推导的两个峰子方程情形中，所得哈密顿峰子流构成正交族；而一般地，该一般族中两个不同方程的哈密顿峰子流以等于参数化此两方程的 $\mathbf{RP} ^1$ 中两直线间夹角的固定角度相交。此外，表明逆谱方法可利用某一插值问题的显式解显式求解保守峰子的动力学。多峰子解的图像证实了多峰子呼吸子以及在非周期时域中两峰子束缚态对的渐近形成之存在。