接触和Legendrian同痕的判别式与振荡长度

我们在任意接触流形的接触同胚群单位连通分支的万有覆盖上定义了一个整数值非退化双不变度量（判别式度量）。该度量具有非常简单的几何定义，基于接触同胚的判别点概念。利用生成函数，我们证明了对于$\mathbb{R}^{2n} \times S^1$和$\mathbb{RP}^{2n+1}$上的标准接触结构，判别式度量是无界的。另一方面，我们也通过初等论证表明，对于$\mathbb{R}^{2n+1}$和$S^{2n+1}$上的标准接触结构，判别式度量是有界的。作为这些结果的应用，我们得到对于$\mathbb{R}^{2n} \times S^1$和$\mathbb{RP}^{2n+1}$，接触碎片范数是无界的。通过详细阐述判别式度量的构造，我们随后定义了第二个整数值双不变度量，称为判别式振荡度量。第二个度量非退化当且仅当接触流形在Eliashberg和Polterovich意义上是可排序的，并且在这种情况下，它与偏序相容。最后，我们定义了Legendrian同痕的判别式和振荡长度，并证明它们对于任意闭流形$B$上的$T^{\ast}B \times S^1$、$\mathbb{RP}^{2n+1}$以及某些三维圆丛是无界的。