半直线上的导数非线性薛定谔方程

我们使用 Fokas 方法分析了半直线上的导数非线性薛定谔方程 $iq_t + q_{xx} = i(|q|^2q)_x$。假设解 $q(x,t)$ 存在，我们证明它可以表示为在复谱参数 $\zeta$ 平面中制定的矩阵 Riemann-Hilbert 问题的解。跳跃矩阵具有显式的 $x,t$ 依赖性，并由谱函数 $a(\zeta)$, $b(\zeta)$（从初始数据 $q_0(x) = q(x,0)$ 获得）以及 $A(\zeta)$, $B(\zeta)$（从边界值 $g_0(t) = q(0,t)$ 和 $g_1(t) = q_x(0,t)$ 获得）给出。这些谱函数并非独立，而是通过一个相容性条件（即所谓的全局关系）相关联。给定初始值和边界值 $\{q_0(x), g_0(t), g_1(t)\}$，使得存在满足全局关系的谱函数，我们证明由上述 Riemann-Hilbert 问题定义的函数 $q(x,t)$ 全局存在，并求解了具有指定初始值和边界值的导数非线性薛定谔方程。