均匀加速下的非线性薛定谔方程

我们考虑一个近期提出的非线性薛定谔方程，该方程具有幂律形式的类孤子解 $e_q^{i(kx-wt)}$，其中包含在非广延热力学统计中自然出现的 $q$ 指数函数 [$e_q^z \equiv [1+(1-q)z]^{1/(1-q)}$，且 $e_1^z=e^z$]。由于这些基本解的行为类似于自由粒子，满足 $p=\hbar k$、$E=\hbar \omega$ 和 $E=p^2/2m$ ($1 \le q<2$)，因此研究它们在均匀加速效应下如何变化是很有意义的，这为将上述非线性方程应用于研究自由粒子动力学之外的物理场景提供了初步步骤。我们首先研究幂律解在伽利略变换下的行为，并讨论随之产生的类多普勒效应。然后我们考虑恒定加速度，获得新的解，这些解可以等价地视为描述从匀加速参考系（加速度为 $a$）观察的自由粒子，或在恒力 $-ma$ 作用下运动的粒子。后一种解释自然导出演化方程 $i\hbar \frac{\partial}{\partial t}(\frac{\Phi}{\Phi_0}) = - \frac{1}{2-q}\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} [(\frac{\Phi}{\Phi_0})^{2-q}] + V(x)(\frac{\Phi}{\Phi_0})^{q}$，其中 $V(x)=max$。值得注意的是，势 $V$ 与 $\Phi^q$ 耦合，而不是像熟悉的线性情况 ($q=1$) 中那样与 $\Phi$ 耦合。