Dagum 族各向同性相关函数

函数 $\rho:[0,\infty)\to(0,1]$ 是完全单调函数，当且仅当 $\rho(\Vert\mathbf{x}\Vert^2)$ 在所有 $d$ 维空间 $\mathbb{R}^d$ 上是正定的，因此它代表了弱平稳且各向同性高斯随机场的相关函数。径向正定函数也很重要，因为它们代表了球对称概率分布的特征函数。在本文中，我们分析了函数 $$\rho(\beta ,\gamma)(x)=1-\biggl(\frac{x^{\beta}}{1+x^{\beta}}\biggr )^{\gamma},\qquad x\ge 0, \beta,\gamma>0,$$ 即所谓的 Dagum 函数，并展示了该函数在任何 $d$ 维欧几里得空间上是完全单调（即正定）的参数范围。该函数与其他完全单调及对数完全单调函数族之间存在重要的关联。