超限豪斯多夫维数的 $D$-变体

我们为每个度量空间 $X$ 赋予值 $t_{D}HD(X)$，该值为一个序数或符号 $-1$ 或 $\Omega$ 之一，称其为 $X$ 的 $D$-变体超限豪斯多夫维数。这种序数赋值主要通过 $D$-维数构造，后者是一种超限维数函数，在有限维度量空间上与大归纳维数一致，同时也解决了大超限归纳维数的不足。类似于豪斯多夫维数，$t_{D}HD(\cdot)$ 关于子空间单调，且是双利普希茨不变量。它也关于利普希茨映射非增，并满足粗略中间维数性质。我们还表明，这一新的超限豪斯多夫维数函数实现了超限豪斯多夫维数函数的主要目标：对豪斯多夫维数无限的度量空间进行分类。特别地，我们证明如果 $t_{D}HD\geq \omega_0$，则 $HD(X) = \infty$。对于任何可分度量空间，$t_{D}HD(X)<\omega_1$，并且可以找到一个可度量化空间，其 $t_{D}HD(X)$ 介于给定序数及其后继基数之间，且拓扑维数为 0。