亚调和函数与测度上的预序及其在全纯函数零点分布中的应用

设 $X$ 为 $d$ 维欧几里得空间 $\mathbb R^d$ 中区域 $D$ 上的一类扩展数值函数，$H\subset X$。给定 $u,M\in X$，若存在函数 $h\in H$ 使得在 $D$ 上 $u+h\leq M$，则记 $u\prec_H M$。我们考虑当 $H$ 为 $D$ 上所有调和函数空间，或 $H$ 为 $D$ 上所有亚调和函数 $h \not\equiv -\infty$ 的凸锥时，对 $D$ 上两个亚调和函数 $u, M$ 的这一特殊预序 $\prec_H$。主要结果给出了该预序 $\prec_H$ 的对偶等价形式，涉及亚调和函数 $u$ 和 $M$ 的 Riesz 测度的扫散过程、Jensen 与 Arens-Singer（表示）测度、这些测度的势，以及由补集 $D\setminus S$（其中 $S\Subset D$ 为非空预紧子集）上亚调和函数生成的特殊测试函数。对域 $D\subset \mathbb C^n$ 上全纯函数 $f$ 的应用关联到在 $D$ 上满足上界限制 $|f|\leq \exp M$ 的函数 $f$ 零点集的分布。若域 $D\subset \mathbb C$ 是具有非空外部的有限连通域，或边界上有两个不同点的单连通域，则我们关于 $D$ 上满足 $|f|\leq \exp M$ 且 $f\neq 0$ 的零点分布条件既必要又充分。