电荷分布与次调和函数在带状区域上的扫散

我们考虑复平面 $\mathbb C$ 上以实轴 $\mathbb R$ 为基准、对 $0\leq b\in \mathbb R$ 的两种扫散构造。设 $u\not\equiv -\infty$ 为 $\mathbb C$ 上次数为 $$\operatorname{ord}[u]:=\limsup_{z\to \infty} \frac{\ln \max\{1,u(z)\}}{\ln |z|}\leq 1$$ 的次调和函数，$U=u-v$ 为 $\mathbb C$ 上次调和函数 $u$ 与 $v\not\equiv -\infty$ 之差且 $\operatorname{ord}[v]\leq 1$，即 $\mathbb C$ 上次数为 $\operatorname{ord}[U]\leq 1$ 的 $\delta$-次调和函数。则存在 $\mathbb C$ 上次数为 $\operatorname{ord}[V]\leq 1$ 的 $\delta$-次调和函数 $V\not\equiv \pm\infty$，使得 $V$ 在 $\bigl\{ z \in \mathbb C\bigm| |\Re z|> b\bigr\}$ 上调和，且对一切 $z\in \bigl\{ z \in \mathbb C\bigm| |\Re z|\leq b\bigr\}\setminus E$ 有 $U(z)\equiv V(z)$，其中 $E\subset \mathbb C$ 为极集。若 $u$ 是次数 1 下有限型的次调和函数，即 $$\limsup_{z\to \infty} \frac{u(z)}{|z|}<+\infty,$$ 则存在次数 1 下有限型的次调和函数 $u_{\mathbb R}$ 与 $u_b$，它们分别在上 $\mathbb C\setminus \mathbb R$ 与 $\bigl\{ z \in \mathbb C\bigm| |\Re z|> b\bigr\}$ 调和，使得 $$\begin{cases} u(z)\equiv u_{\mathbb R}(z)+u_b(z) \text{ 对所有 $z\in {\mathbb R}\bigcup \bigl\{ z \in \mathbb C\bigm| |\Re z|\leq b\bigr\}$},\ u(z)\leq u_{\mathbb R}(z) + u_b(z) \text{ 对每个 $z\in \mathbb C$ 成立。}\end{cases}$$ 同时，我们追溯了次调和与 $\delta$-次调和函数的 Riesz 质量与电荷分布的各种对数特征之间的特殊关系。