在等距超平面上消失的多调和函数的对称性

设 $u\left( t,y\right)$ 为定义在带状区域 $\left( a,b\right) \times\mathbb{R}^{d}$ 上的 $N$ 阶多调和函数，满足增长条件 $$\sup_{t\in K}\left\vert u\left( t,y\right) \right\vert \leq o\left( \left\vert y\right\vert ^{\left( 1-d\right) /2}e^{\frac{\pi}{c}\left\vert y\right\vert }\right)$$ 当 $\left\vert y\right\vert \rightarrow\infty$ 且对 $\left( a,b\right)$ 的任意紧子区间 $K$ 成立，并假设 $u\left( t,y\right)$ 在 $2N-1$ 个形如 $\left\{ t_{j}\right\} \times\mathbb{R}^{d}$ 的等距超平面上消失，其中 $t_{j}=t_{0}+jc\in\left( a,b\right)$ 且 $j=-\left( N-1\right) ,...,N-1.$ 则证明 $u\left( t,y\right)$ 在 $t_{0}$ 处为奇对称，即对任意 $y\in\mathbb{R}^{d}$ 有 $u\left( t_{0}+t,y\right) =-u\left( t_{0}-t,y\right)$。第二个主要结果表明，若 $u$ 满足该增长条件且在 $2N$ 个间距为 $c$ 的等距超平面上消失，则 $u$ 恒为零。