关于具有给定零点的指数型小整函数的 Malliavin-Rubel 定理的推广与发展

此前，我们发展了将测度或电荷以及有限阶 ($\delta$-)次调和函数扫除至复平面 $\mathbb C$ 上以原点为顶点的闭射线系统 $S$ 的技术。本文仅使用两类测度与电荷的扫除，以及阶为 1 的有限型次调和函数及其差。第一类是 genus $q=0$ 的经典扫除，作用于四条闭射线系统：正负实半轴 $\mathbb R^+$、$-\mathbb R^+$ 与虚半轴 $i\mathbb R^+$、$-i\mathbb R$。第二类是 genus $q=1$ 的双侧扫除，从开的右半平面与左半平面 $\mathbb C_{{\rm rh}}$ 和 $\mathbb C_{{\rm lh}}$ 扫除至虚轴 $i\mathbb R$。经典的 Malliavin-Rubel 定理给出了指数型整函数（记为 e.f.e.t.）$f\not\equiv 0$ 存在的充分必要条件，该函数在给定正序列 ${\sf Z}=\{{\sf z}_k\}_{k\in \mathbb N}\subset \mathbb R^+$ 上为零，且在 $i\mathbb R$ 上满足约束 $|f|\leq |g|$，其中 $g$ 为在正序列 ${\sf W}=\{{\sf w}_k\}_{k\in \mathbb N}\subset \mathbb R^+$ 上为零的 e.f.e.t.。结合 genus $q=0$ 和 $q=1$ 的这些特殊扫除过程，我们得以将 Malliavin-Rubel 定理推广至被一对垂直角与虚轴 $i\mathbb R$ 分隔的任意复序列 ${\sf Z}=\{{\sf z}_k\}_{k\in \mathbb N}\subset \mathbb C$，并在虚轴 $i\mathbb R$ 上施加更一般的约束 $\ln |f|\leq M$，其中 $M$ 为阶 1 下的有限型次调和函数。