如何定义你的维数：关于 Hausdorff 维数与自相似性的论述

人们常通过说前者是一维而后者是二维来区分一条直线与一个平面。但是，一个对象具有 $d$ 维究竟意味着什么？我们能否为任意对象（比如一片雪花）严格定义一个一致的维数概念？维数是否必须始终取整数值？在强调某类对象在定义合理的维数概念时所遇到的若干关键问题后，我们通过探讨 Hausdorff 维数——一种为任意度量空间子集赋予维数的卓越方法——来尝试回答上述问题。为了恰当表述 Hausdorff 维数的定义与性质，我们事先回顾了关键的测度论术语。最后，我们讨论了自相似性的概念，并展示它如何常常违背我们关于维数必须始终为整数的日常直觉。