平面椭圆的常宽测度集、球测度集与等周等式

在本文中，我们引入常宽测度集，它度量一个椭圆（即平面简单闭严格凸曲线）的常宽性质。我们研究其几何性质。我们找到了由椭圆 $M$ 所围区域的长度与面积之间的精确关系。即，满足以下等式： \begin{align*} L_{M}^2 &=4\pi A_M+8\pi\left|\widetilde{A}_{\mathrm{E}_{\frac{1}{2}}(M)}\right|+\pi\left|\widetilde{A}_{\mathrm{CWMS}(M)}\right|, \end{align*} 其中 $L_{M}, A_{M}, \widetilde{A}_{\mathrm{E}_{\frac{1}{2}}(M)}, \widetilde{A}_{\mathrm{CWMS}(M)}$ 分别是 $M$ 的长度、由 $M$ 围成的面积、$M$ 的 Wigner 焦散的有向面积以及 $M$ 的常宽测度集的有向面积。此外我们研究球测度集的几何，它是具有特殊距离的曲线的偏移。我们证明椭圆 $M$ 的该集合的有向面积 $\widetilde{A}_{\mathrm{SMS}(M)}$ 满足以下等式： \begin{align*} 4\left|\widetilde{A}_{\mathrm{SMS}(M)}\right|=8\left|\widetilde{A}_{\mathrm{E}_{\frac{1}{2}}(M)}\right|+\left|\widetilde{A}_{\mathrm{CWMS}(M)}\right|. \end{align*}