复合 Monge-Ampère 方程及其在曲面均匀化中的应用

我们证明了完整非紧致 Kahler 曲面，其正且有界的曲率满足条件时，必为 $\mathbb{C}^2$ 的双曲同构。这一结果确认了 Yau 猜想的一个特例：完整非紧致 Kahler $n$ 维流形，其正的全 holomorphic 双截面曲率必为 $\mathbb{C}^n$。与已知所有关于 Yau 猜想的结果不同，本文不需对 Kahler 曲面的全局/渐近几何作额外假设，仅要求完备性。为此，我们证明了完整 Kahler 曲面正曲率时，其 Ricci 形式之平方的积分为有限值。Chen 与 Zhu 的工作表明，这一结果蕴含该曲面必为 $\mathbb{C}^2$ 的双曲同构。本文的主要新思路是构造一个 Lipschitz 连续的 plurisubharmonic 权函数，其 Monge-Ampère 质量为有限值。该权函数通过求解复 Monge-Ampère 方程获得。