拓扑群上 $\sigma$-理想的闭 Steinhaus 性质

我们证明，拓扑群 $G$ 的任意贫集（meager）拟解析子群属于 $G$ 上每个具有闭 $\pm n$-Steinhaus 性质的 $\sigma$-理想 $\mathcal I$（对某个 $n\in\mathbb N$）。拓扑群 $G$ 上的理想 $\mathcal I$ 若对 $G$ 中任意不属于 $\mathcal I$ 的闭子集 $A_1,\dots,A_n$，乘积 $(A_1\cup A_1^{-1})\cdots (A_n\cup A_n^{-1})$ 在 $G$ 中不是无处稠密的，则被定义具有闭 $\pm n$-Steinhaus 性质。由于在局部紧群 $G$ 中由闭 Haar 零集生成的 $\sigma$-理想 $\mathcal E$ 具有闭 $\pm 2$-Steinhaus 性质，我们得出结论：每个贫集拟解析子群 $H\subset G$ 属于该理想 $\mathcal E$。对于实直线上的解析子群，此结果由 Laczkovich 于 1998 年证明。我们将讨论 Laczkovich 定理向非局部紧群的可能推广，并构造 $\mathbb Z^\omega$ 中一个贫集 Borel 子群的例子，它不能被可数个闭 Haar 零（甚至闭 Haar 贫）集覆盖。另一方面，假设 $cof(\mathcal M)=cov(\mathcal M)=cov(\mathcal N)$，我们构造一个子群 $H\subset 2^\omega$，它是贫集且 Haar 零，但不属于 $\sigma$-理想 $\mathcal E$。该构造使用了一种新的基数特征 $voc^*(\mathcal I,\mathcal J)$，其本身似乎也引人关注。