Steinhaus-Weil 性质：其逆命题、次连续性及 Solecki 顺从性

本文关注的 Steinhaus-Weil 定理是简单或经典的“内点”性质——即在波兰拓扑群中，一个非可忽略集 B 的单位元是 $BB^{-1}$ 的内点。存在多种逆命题；我们主要关注的是由 Simmons 和 Mospan 给出的那个。此时群是局部紧的，因此我们有 Haar 参考测度 $\eta$。Simmons-Mospan 定理指出，一个（正则 Borel）测度具有此种 Steinhaus-Weil 性质当且仅当它关于 Haar 测度是绝对连续的。在第一部分（命题 1-7，定理 1-4）中，我们利用内点性质与由特定参考测度族 $\sigma$ 提供的选择性无穷小不变性之间的联系，借鉴了 Solecki 的单位元 1 处顺从性（并使用了 Fuller 的次连续性概念）。在第二部分（命题 8、9，定理 5、6）中，我们发展了 Simmons-Mospan 定理的若干变体。在第三部分（定理 7、8）中，我们将其与 Weil 型拓扑联系起来。最后，在第四部分，我们以命题 12-13 和定理 B 作结，涉及“复合内点”性质（关于 $AB^{-1}$）和 Borell “相对内点”性质（相对于 Cameron-Martin 空间）及其补充。