4-流形同胚的 Casson-Sullivan 不变量

我们研究了光滑 $4$-流形同胚的 Casson-Sullivan 不变量的可实现性，该变量是同胚稳定伪合痕于微分同胚的障碍，取值在源流形的具有 $\mathbb{Z}/2$-系数的三阶上同调群中。我们证明，对于所有同胚的光滑 $4$-流形的可定向对，在用单个 $S^2\times S^2$ 进行稳定化后，该不变量可以被完全实现。作为应用，我们得到：光滑单连通 $4$-流形中拓扑合痕的曲面在充分的外部稳定化后将成为光滑合痕的。我们进一步展示了在自同胚情形下无需稳定化即可完全实现该不变量的若干情况，其中包括具有有限循环基本群的流形。该方法使我们能够构造出许多同胚的例子，这些同胚不与任何微分同胚稳定伪合痕，但却同伦于恒等映射。最后，我们从寻找 $4$-流形上微分同胚但不稳定伪合痕的光滑结构的例子的角度重新解释了这些结果。