连续位错系统的体-边对应

我们研究 $L^2(\mathbb{R})$ 上一族算子 $\{\mathscr{P}(t)\}_{t \in [0,2\pi]}$ 的缺陷模的拓扑方面。$\mathscr{P}(t)$ 是周期 Schr"odinger 算子 $P_0$ 受一位错势扰动所得。该势在左右均为周期，但从 $-\infty$ 相对 $+\infty$ 获得相位缺陷 $t$。当 $t=\pi$ 且位错小而绝热时，Fefferman、Lee-Thorp 与 Weinstein 在先前工作中表明 $P_0$ 的 Dirac 点（$P_0$ 能带谱中的简并）分叉为 $\mathscr{P}(\pi)$ 的缺陷模。我们表明这些模在族 $\{\mathscr{P}(t)\}_{t \in [0,2\pi]}$ 的层次上是拓扑保护的。这意味着局域扰动不能对所有 $t$ 值消除这些态，即便在 Fefferman$-$Lee-Thorp$-$Weinstein 所研究的小绝热区域之外也是如此。我们定义两个拓扑量：边指标（$t$ 从 $0$ 到 $2\pi$ 时穿过能隙的本征值带符号数目）与体指标（$+\infty$ 附近周期算子的 Bloch 本征丛的 Chern 数）。我们证明这些指标等于同一奇缠绕数。这展示了族 $\{\mathscr{P}(t)\}_{t \in [0,2\pi]}$ 的体-边对应。我们用位错的渐近形状与 Dirac 点 Bloch 模表达该缠绕数。我们通过几个例子上体/边指标的计算阐明模型的拓扑深度。