均匀临界正则性框架下的玻尔兹曼方程

我们构造了 3D 玻尔兹曼方程的唯一全局解, 其初始数据围绕 Maxwellian 在空间临界齐次 Besov 空间 $\widetilde{L}^2_{\xi}(\dot{B}_{2,1}^{1/2}\cap\dot{B}_{2,1}^{3/2})$ 中。此外, 在初始扰动的低频部分受限于 $\widetilde{L}^2_{\xi}(\dot{B}_{2,\infty}^{\sigma_{0}})$ 且 $-3/2\leq\sigma_{0}<1/2$ 的条件下, 证明解在大时间内收敛于其平衡态, 并以 optimal rate $\mathcal{O}(t^{-(\sigma-\sigma_{0})/2})$ 在 $\widetilde{L}^2_{\xi}(\dot{B}_{2,1}^{\sigma})$ 中收敛, 其中 $\sigma>\sigma_0$, 且微观部分以增强速率 $\mathcal{O}(t^{-(\sigma-\sigma_{0})/2-1/2})$ 收敛。与 [19] 不同, 我们方法中不需要常规的 $L^2$ 估计, 这为玻尔兹曼方程的 hypocoercivity 理论提供了新理解, 允许在低频和高频处具有不同耗散速率的 Lyapunov 泛函构建。此外, 可发展基于时间加权 Lyapunov 能量论证以推导 optimal time-decay 估计。