等温坐标卡的 bi-Lipschitz 常数

设 $M$ 为 $C^{2}$-光滑 Riemannian 曲面。微分几何中的一个经典定理指出，Gauss 曲率函数 $K : M \to \mathbb{R}$ 处处为零当且仅当该曲面局部等距于 Euclid 平面。我们给出了该定理关于等温坐标卡的渐近精确的定量版本。粗略地说，我们证明如果 $B$ 是半径为 $\delta > 0$ 且满足 $\delta^{2}\sup_{B}|K| < \varepsilon$（对于某个 $0 < \varepsilon < 1$）的 Riemannian 圆盘，则存在一个从 $B$ 到半径为 $\delta$ 的 Euclid 圆盘的等温坐标映射，其 bi-Lipschitz 常数为 $\exp(4 \varepsilon)$。