一类非齐次非线性常微分方程的终止点与同宿粘合

研究了参数 $\alpha$ 下形如 $$u'' + u^2 = \alpha f(x)$$ 的一类非齐次非线性常微分方程的解 $u(x)$。问题定义在 $x$ 轴上，且解 $u(x)$ 与外加强迫 $f(x)$ 均随 $|x| \to \infty$ 而衰减。 $f(x)$ 的衰减速率十分重要，并对解空间的结构有强烈影响。主要考察三种特定强迫：直线型平顶、高斯和洛伦兹型，后两者分别在大的 $x$ 处呈现指数与代数衰减。平顶问题可精确求解，而高斯与洛伦兹型一般须数值计算。计算表明每种情形均存在无穷多解分支。对于平顶与高斯，解分支在从零开始的一组离散 $\alpha$ 值处终止。我们构建了终止点附近解的通用渐近描述，其也提供了关于局部折叠行为存在性的信息。洛伦兹强迫的解分支一般不终止。对于大 $\alpha$，我们将 Keeler、Binder $\&$ Blyth（2018 “On the critical free-surface flow over localised topography”，J. Fluid Mech., 832, 73-96）的渐近分析推广，利用同宿连接粘合方法描述任意给定解分支上的行为。