顶点算子代数的张量分解、Parafermions、能级 - 秩对偶及互反律

对于半单李代数 $\frak{sl}_n$，仿射李代数 $\widehat{\frak{sl}_{n}}$ 的基本表示 $L_{\widehat{\frak{sl}_{n}}}(1,0)$ 是一个格顶点算子代数。本文的第一个主要结果是证明 $l$ 重张量积 $L_{\widehat{\frak{sl}_{n}}}(1,0)^{\otimes l}$ 中 $L_{\widehat{\frak{sl}_{n}}}(l,0)$ 的交换子顶点算子代数同构于 parafermion 顶点算子代数 $K(\frak{sl}_{l},n)$，后者是 $L_{\widehat{\frak{sl}_l}}(n,0)$ 中 Heisenberg 顶点算子代数 $L_{\widehat{\frak{h}}}(n,0)$ 的交换子。该结果提供了一种能级 - 秩对偶的形式。本文的第二个主要结果是证明第一个结果的更一般版本，即 $L_{\widehat{\frak{sl}_{n}}}(l_1,0)\otimes \cdots \otimes L_{\widehat{\frak{sl}_{n}}}(l_s, 0)$ 中 $L_{\widehat{\frak{sl}_{n}}}(l_1+\cdots +l_s, 0)$ 的交换子同构于有理顶点算子代数 $L_{\widehat{\frak{sl}}_{l_1+\cdots +l_s}}(n,0)$ 中由对应于组合 $(l_1, \cdots, l_s)$ 的 $\frak{sl}_{l_1+\cdots+l_s}$ 的 Levi 李子代数生成的顶点算子代数的交换子。这一一般版本也类似于 Howe 在约化李群背景下讨论的互反律的一种形式。在证明主要结果的过程中，某些 Howe 对偶对也出现在顶点算子代数的背景下。