对称 Monge-Kantorovich 问题与向量场的极分解

对于任意给定的整数 $N\geq 2$，我们证明：从有界区域 $\Omega$ 到 $\R^d$ 的每一个有界可测向量场，在相差一个保测 $N$-对合的意义下都是 $N$-循环单调的。该证明涉及一个多维对称 Monge-Kantorovich 问题的求解，我们首先在乘积区域 $\Omega^N$ 上的一般成本函数情形下研究了该问题。上述极分解对应于一个由所考虑的向量场（实际上是其中的 $N-1$ 个）导出的特殊成本函数。在此情形下，我们证明：在所有关于循环置换不变且具有给定第一边缘分布 $\mu$ 的 $\Omega^N$ 上的概率测度中，上确界在一个概率测度上达到，该测度支撑在一个形如 $x\to (x, Sx, S^2x,..., S^{N-1}x)$ 的函数的图上，其中 $S$ 是 $\Omega$ 上的一个 $\mu$-保测变换，且几乎处处满足 $S^N=I$。该证明利用了对合与 $N$-循环反对称哈密顿量之间的一种显著对偶性。