关于多随机 Monge-Kantorovich 问题、按位运算与分形

乘积空间 $\prod_{i=1}^n X_i$ 上的多随机 $(n,k)$-Monge--Kantorovich 问题是经典 Monge--Kantorovich 问题的推广。该问题在给定 $1 \le k < n$ 的情况下，在所有 $k$ 元组 $\{i_1, \ldots, i_k\} \subset \{1, \ldots, n\}$ 的投影固定到 $X_{i_1} \times \ldots \times X_{i_k}$ 上的测度空间中考虑。在本文中，我们研究原问题及相应对偶问题的适定性。我们的核心结果描述了以下重要模型情形的解 $\pi$：$n=3, k=2, X_i = [0,1]$，代价函数 $c(x,y,z) = xyz$，且相应的二维投影是 $[0,1]^2$ 上的 Lebesgue 测度。我们特别证明，映射 $(x,y) \to x \oplus y$ 是相应的最优运输，其中 $\oplus$ 是 $[0,1] \cong \mathbb{Z}_2^{\infty}$ 上的按位加法（xor- 或 Nim-加法）。特别地，$\pi$ 的支撑集是 Sierpiński 四面体。此外，我们描述了相应对偶问题的解。