IID环境中分支随机游走的存活渐近性

我们首先研究了一个最近在 \cite{ES} 中引入的模型，即 $d$ 维整数格上IID随机环境中的临界分支随机游走。当且仅当格点处没有放置“障碍”时，游走者才在该格点进行临界 (0-2) 分支。障碍以概率 $p\in [0,1)$ 独立地出现在每个格点。我们还考虑了一个类似模型，其后代分布是次临界的。设 $S_n$ 为存活到时刻 $n$ 的事件。我们证明，在一个满 $\mathbb P_p$ 测度的集合上，当 $n\to\infty$ 时， 临界情形：$P^{\omega}(S_n)\sim\frac{2}{qn}$； 次临界情形：$P^{\omega}(S_n)= \exp\left[\left( -C_{d,q}\cdot \frac{n}{(\log n)^{2/d}} \right)(1+o(1))\right]$，其中 $C_{d,q}>0$ 不依赖于分支律。因此，该模型在临界情形表现出“自平均”，但在次临界情形则不然。即，在 中，渐近尾部行为与移除空间的“玩具模型”相同，而在 中，空间存活概率大于相应的玩具模型，这暗示了空间策略的存在。我们利用了分支过程的spine分解以及关于随机游走的一些已知结果。