Superlinear transmission in an indirect signal production chemotaxis system

本文考察了具有非线性 transmission 的间接信号生产系统 [ \left\{ \begin{array}{lll} & u_t = \Delta u-\nabla\cdot(u \nabla v), \ \displaystyle & v_t =\Delta v-v+w,\ \displaystyle & w_t =\Delta w-w+ f(u) \end{array} \right. ] 于边界 smooth domain $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ 及其 homogenous Neumann 边界条件，其中 $f\in C^1([0,\infty))$ 满足 $0\le f(s) \le s^{\alpha}$，其中 $\alpha>0$。已知当 $0<\alpha<\frac 4n$ 且 $n\ge 4$ 时，该系统具有 global bounded solution。当 $n\le 3$ 且考虑 superlinear transmission 时，无法直接从 $w$ 或 $v$ 推导出正则性。在本工作中，我们证明当 $0<\alpha< \min\{\frac 4n,1+\frac 2n\}$ 时，解是 global and bounded 的，通过基于 maximal Sobolev 正则性的方法实现。