快扩散情形下抛物型 $p$-Laplace 方程的超热函数

我们研究抛物型 $p$-Laplace 方程的一类广义上解，即所谓 $p$-超热函数。这类函数定义为在下半连续、在稠密集上有限并满足抛物比较原理的函数。其在 $p\geq 2$ 时的性质已相对清楚，但在快扩散情形 $1<p<2$ 下鲜有已知结果。每个有界的 $p$-超热函数都属于自然 Sobolev 空间，并且对全部范围 $1<p<\infty$ 都是抛物型 $p$-Laplace 方程的弱上解。我们的主要结果表明，在无界 $p$-超热函数被划分为两个互斥的类别，并在超临界情形 $\frac{2n}{n+1}<p<2$ 下给出函数及其弱梯度的尖锐局部可积性估计。Barenblatt 解与无穷点源解表明两种情形均会出现。在次临界情形 $1<p\leq \frac{2n}{n+1}$ 中不存在 Barenblatt 解，该理论尚不清楚。