整数平方和的余数类求和

若一个子集 $\mathcal{A}\subseteq\mathbb{Z}$ 满足：每个充分大的正整数都可以表示为来自 $\mathcal{A}$ 中整数的最多 $s$ 个平方和，则称其为 $s$-几乎完全平方普适子集。本文研究具有该性质的最小数 $\mathrm{ASU}(\mathcal{A}_{d,m})$，其中 $\mathcal{A}_{d,m}$ 表示模 $m$ 下 $d$ 的剩余类，其中 $m\in\mathbb{N}$ 且 $d\in\mathbb{Z}$。我们进一步证明，若且仅当 $d \equiv \pm 1 \pmod{m}$ 时，$\mathcal{A}_{d,m}$ 才是某个 $s\in\mathbb{N}$ 的 $s$-完全平方普适子集，并确定这些情况下的最小数 $\mathrm{SU}(\mathcal{A}_{d,m})$。