$\text{Out}(F_n)$ 中的子群分解，第四部分：相对不可约子群

这是关于 $\text{Out}(F_n)$ 子群分解理论的四篇系列论文（含发布在本 arXiv 上的研究公告）中的第四篇也是最后一篇。在本文中，我们开发了用于 $\text{Out}(F_n)$ 作用于 $F_n$ 线空间的一般乒乓球技术。利用这些技术，我们证明了研究公告中陈述的主要结果，即定理 C 及其特例定理 I；后者指出，对于 $\text{Out}(F_n)$ 的任何有限生成子群 $\mathcal H$，若其在具有 $\mathbb{Z}/3$ 系数的同调上作用平凡，且对于任何自由因子系 $\mathcal F$（该系不由 $F_n$ 的一对互补自由因子的共轭类组成，也不由秩为 $n-1$ 的自由因子组成），如果 $\mathcal H$ 相对于 $\mathcal F$ 是完全不可约的，则 $\mathcal H$ 包含一个相对于 $\mathcal F$ 完全不可约的元素。我们还证明了定理 J，该定理在 $\mathcal H$ 相对于 $\mathcal F$ 是几何的附加假设下，描述了 $\mathcal H$ 与曲面映射类群之间的强关系。v3 和 v4 版本：加强了主要定理的陈述，突出了有限生成假设的作用并提供了替代假设；加强了层状结构乒乓球技术的证明，并加强了定理 J 的结论以用于进一步的应用。