关于 $\mathcal{B(H,K)}$ 范数次梯度及近似正交性

我们给出 $\mathcal{B(H,K)}$ 范数右侧导数的表达式，推广了关于 $\mathcal{K}=\mathcal{H}$ 情形的 [D. J. Ke$\check{\mathrm{c}}$ki$\grave{\mathrm{c}}$, Gateaux derivative of $B(H)$ norm, Proc. Amer. Math. Soc. 133 (2005): 2061--2067] 的结果。借此，我们获得 $\mathcal{B(H, K)}$ 范数的次梯度。对于算子元组 $\mathbf{A},\mathbf{X}\in$ $\mathcal{B(H, H}^d)$，我们给出 $\boldsymbol 0$ 为子空间 $\mathbb C^d \mathbf{X}$ 最佳逼近的判据，推广了类似于 $\mathbb C^d \mathbf{I}$ 情形的 [P. Grover, S. Singla, A distance formula for tuples of operators, Linear Algebra Appl. 650 (2022): 267--285] 的结果。我们定义 $\epsilon$-Birkhoff 正交性以子空间的概念于一般赋范空间中，并以次梯度集给出判据。借此，我们推导出关于 $A\in \mathcal{B(H,K)}$ 对 $\mathcal{B(H,K)}$ 子空间的 $\epsilon$-Birkhoff 正交性的有趣结果，当 $A$ 为紧算子时。