近似数值半径正交

我们引入近似数值半径(Birkhoff)正交的概念并研究其重要性质。设 $T, S\in \mathbb{B}(\mathscr{H})$ 且 $\varepsilon \in [0, 1)$。若 $$\omega^2(T+\lambda S)\geq \omega^2(T)-2\varepsilon \omega(T) \omega(\lambda S)\,\,\,\, \text{for all }\lambda\in\mathbb{C}.$$ 我们称 $T$ 近似数值半径正交 $S$,记为 $T\perp^{\varepsilon}_{\omega} S$。我们证明 $T\perp^{\varepsilon}_{\omega} S$ 当且仅当 $\displaystyle\inf_{\theta\in [0, 2\pi)} D^{\theta}_{\omega}(T, S) \geq -\varepsilon \omega(T) \omega(S)$,其中 $D^{\theta}_{\omega}(T, S)=\displaystyle\lim_{r\to 0^+} \frac{\omega^2(T+re^{i\theta} S)-\omega^2(T)}{2r}$;而这成立当且仅当对每个 $\theta\in[0,2\pi)$,存在 $\mathscr{H}$ 中单位向量序列 $\{x_n^{\theta}\}$ 使得 $$\displaystyle\lim_{n\to \infty} |\langle Tx^{\theta}_n, x^{\theta}_n\rangle|=\omega(T),\,\, \text{且}\,\, \displaystyle\lim_{n\to \infty} {\rm Re}\{e^{-i\theta} \langle Tx^{\theta}_n, x^{\theta}_n\rangle\bar{\langle Sx^{\theta}_n, x^{\theta}_n\rangle}\}\geq -\varepsilon \omega(T) \omega(S),$$ 其中 $\omega(T)$ 为 $T$ 的数值半径。