一类分数阶随机热方程的研究

在本文中，我们研究了一类 $d$ 维随机非线性热方程（SNLH），其具有二次非线性，并受分数阶时空白噪声强迫：\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} \partial_t u-\Delta u= \rho^2 u^2 + \dot B \, , \quad t\in [0,T] \, , \, x\in \mathbb{R}^d \, ,\\ u_0=\phi\, . \end{array} \right. \end{equation*} 根据 Hurst 指数 $H=(H_0,...,H_d)$ $\in (0,1)^{d+1}$ 的取值范围，我们给出了两类 regime。特别地，我们证明当 $2 H_0+\sum_{i=1}^{d}H_i >d$ 时，由 Da Prato-Debussche 技巧得到的（SNLH）局部适定性易于获得。相反，当 $2H_0+\sum_{i=1}^{d}H_i \leq d$ 时，（SNLH）难以处理得多。在此情形下，借助与时间有关的重正规化，该模型须以 Wick 意义解释。借助热半群的正则化效应，我们建立了对所有维数 $d\geq1$ 的（SNLH）局部适定性结果。