随机非线性波动方程与热方程的比较：一个案例研究

我们研究具有二次非线性的二维随机非线性波动方程（SNLW）与随机非线性热方程（SNLH），其强迫项由时空白噪声的分数阶导数（阶数 $\alpha > 0$）给出。特别地，我们证明 SNLW 的适定性理论在 $\alpha = \frac 12$ 处破裂，而 SNLH 在 $\alpha = 1$ 处破裂。这给出了首个表明 SNLW 表现不如 SNLH 有利的例子。（i）对于 SNLW，Deya（2020）本质上证明了其在 $0 < \alpha < \frac 12$ 时的局部适定性。我们首先重访该论证，并依照 Gubinelli、Koch 和 Oh（2018）近期工作的精神，建立了二阶随机项上 $\frac 14$ 阶的多线性光滑效应。这使我们能简化某些 $\alpha$ 范围内的局部适定性论证。另一方面，当 $\alpha \geq \frac 12$ 时，我们证明 SNLW 是不适定的，即二阶随机项不是以空间分布为值的时间连续函数。这表明基于高阶展开的 Da Prato-Debussche 技巧或其变体等标准方法在 $\alpha \ge \frac 12$ 时失效。（ii）对于 SNLH，我们建立了以 $\alpha = 1$ 为阈值的类似结果。这些例子表明，在粗糙噪声情形下，奇异性随机偏微分方程现有的适定性理论在达到由标度分析预测的关键值（波动情形为 $\alpha = \frac 34$，热情形为 $\alpha = 2$；前者由 Deng、Nahmod 和 Yue（2019）给出，后者由 Hairer（2014）给出）之前就已破裂。