具乘性分数-有色噪声的随机热方程

我们考虑 $\bR_{+} \times \bR^d$ 中具乘性噪声的随机热方程 $u_t={1/2}\Delta u+ u \diamond \dot{W}$，其中 $\diamond$ 表示Wick积，且解在mild意义下解释。噪声 $\dot W$ 在时间上是分数的（Hurst指数 $H \geq 1/2$），在空间上是有色的（空间协方差核为 $f$）。我们证明，如果 $f$ 是 $\alpha$ 阶Riesz核，或者是 $\alpha<d$ 阶Bessel核，则解存在的充分条件是 $d \leq 2+\alpha$（若 $H>1/2$），相应地 $d<2+\alpha$（若 $H=1/2$）；而如果 $f$ 是热核或Poisson核，则该方程对任意 $d$ 均有解。我们给出了该解的 $k$ 阶矩的表示，用 $k$ 个独立的 $d$ 维布朗运动的“卷积加权”交局部时的指数矩表示。