由时空白噪声驱动的时间分数阶随机热方程

我们研究由时空白噪声驱动的时间分数阶随机热方程，其中空间维数 $d\in\mathbb{N}=\{1,2,...\}$，且分数阶时间导数为阶数 $\alpha \in (0,2)$ 的 Caputo 导数。我们在分布意义下考虑该方程，并给出 $\mathcal{S}'$-值解 $Y(t,x)$ 的显式表达式，其中 $\mathcal{S}'$ 为缓增分布空间。沿用 Y. Hu \cite{Hu} 的术语，若对所有 $t,x$ 有 $Y(t,x) \in L^2(\mathbb{P})$（其中 $\mathbb{P}$ 为底层时空白布朗运动的概率律），则称该解为\emph{温和}的。众所周知，在 $\alpha = 1$ 的经典情形中，解温和当且仅当空间维数 $d=1$。我们证明：若 $\alpha \in (1,2)$，则当 $d=1$ 或 $d=2$ 时解温和；若 $\alpha < 1$，则对任意 $d$ 解均不温和。