关于离散性锚定模型中出现的分数阶随机热方程

我们研究以下在 $\mathbb{R}$ 上的分数阶随机热方程的温和 Skorohod 解： \begin{equation} \begin{cases} \partial_t u(t,x)=-(-\Delta)^{\rho/2} u(t,x) +\beta u(t,x)\delta_0(x)\xi(t),\\ u(0,\cdot)=u_0(x), \end{cases} \end{equation} 其中 $-(-\Delta)^{\rho/2}$ 其中 $\rho\in(0,2]$ 为分数拉普拉斯算子，$\xi$ 为高斯噪声，其协方差为 $\mathbb{E}[\xi(t) \xi(s)]=|t-s|^{2H-2}$ 其中 $H\in(\frac12, 1]$。该方程在 $\rho\in(1,2]$ 时自然出现于离散性锚定模型的研究中。我们证明该方程在 $\rho = 2$ 时 admits 局部 $L^2$-解，而对于 $\rho \in (0,2)$，若解唯一存在，则不能为 $L^p$-可积，其中 $p > 1$。此外，受 Quastel、Ramirez 和 Vir\'{a}g 最近工作的启发，我们证明当 $\frac{1}{\rho}+1<2H$ 时，该方程拥有唯一的全局 $L^1$-解。我们还建立了解的严格正性。我们的工作在 Weinrib-Halperin 预测研究中部分填补了空白。