关于罗拉-纳卡三层 sandwich beam 的研究：正定性、动力学与可控性

本文研究了线性罗拉-纳卡三层 sandwich beam 的正定性、稳定化与边界可控性。该系统由三个耦合方程组成，分别表示外层的纵向位移和复合梁的横向位移，所有方程均耦合于动力学边界条件。第一个问题考虑时间可变的内部阻尼和带时滞的静态边界条件。我们采用半群理论和 Kato 经典结果，建立了该阻尼系统关联的 Cauchy 问题解的存在唯一性。进一步地，借助 Lyapunov 方法，证明了尽管存在时间可变权重和时滞，系统能量仍呈指数衰减。在第二个问题中，我们考虑带动力学边界条件的边界线性控制系统，证明了其正定性。通过推导 adjoint 系统的可观测性不等式，并运用 Hilbert 唯一性方法（HUM），我们证明了该系统可零可控。本工作的关键贡献在于处理完整的三方程耦合系统，由于动力学边界条件带来显著难度，我们通过合适构造的 Lyapunov 泛函和中间可观测性不等式予以解决。