带控制约束的三维阻尼 Navier-Stokes-Voigt 方程的最优控制

本文考虑有界与空间周期域中具有非线性阻尼 $|u|^{r-1}u, r\in[1,\infty)$ 的三维 Navier-Stokes-Voigt（NSV）方程。我们提出一个最优控制问题：在流场速度满足带分布控制力的阻尼 NSV 方程约束下，最小化能量范数下速度场的旋度。控制还需满足盒式约束。对任意 $r\geq 1$，当域 $\Omega$ 为 $\mathbb R^3$ 中周期/有界时讨论弱解的存在唯一性，而在空间周期边界条件下得到唯一强解。我们证明了控制问题最优对的存在性。利用经典伴随问题方法，我们证明最优控制满足由变分不等式给出的一阶必要性最优条件。由于最优控制问题非凸，我们得到二阶充分最优条件，表明一个容许控制在局部最优。进一步，针对全局最优控制，我们根据阻尼项的增长导出了以伴随态表示的最优性条件。