由边界弹簧与阻尼器控制的阻尼 Euler-Bernoulli 梁的指数稳定性

本文分析了一根弹性梁的振动模型，该模型由阻尼 Euler-Bernoulli 方程 $\rho(x)u_{tt}+\mu(x)u_{t}$$+\left(r(x)u_{xx}\right)_{xx}=0$ 控制，在 $x=0$ 处满足固支边界条件 $u(0,t)=u_x(0,t)=0$，在 $x=\ell$ 处满足边界条件 $\left(-r(x)u_{xx}\right)_{x=\ell}=k_r u_x(\ell,t)+k_a u_{xt}(\ell,t)$、$\left(-\left(r(x)u_{xx}\right)_{x}\right )_{x=\ell}$$=- k_d u(\ell,t)-k_v u_{t}(\ell,t)$。$x=\ell$ 处的边界条件分别对应由转动和角速度引起的阻尼力矩的线性组合，以及由位移和速度引起的力的线性组合。基于著名的 Lyapunov 方法开展了系统稳定性分析。在保障正则弱解存在的自然假设下，导出了系统能量的均匀指数衰减估计。该估计中的衰减率常数仅依赖于梁的物理与几何参数，包括黏性外部阻尼系数 $\mu(x) \ge 0$，以及边界弹簧 $k_r,k_d \ge 0$ 和阻尼器 $k_a,k_v \ge 0$。给出了若干数值算例以说明阻尼系数与边界阻尼器的作用。