非线性对称双曲与热力学相容偏微分方程组的保结构格式

本文旨在为连续介质物理学中一阶对称双曲和热力学相容（SHTC）偏微分方程组的离散化，开发精确能量守恒和保结构的有限体积格式。由于其热力学相容性，SHTC方程组满足一个额外的总能量守恒定律，并且此类方程中的许多偏微分方程还满足稳态微分约束（对合）。首先，我们提出了一种简单的半离散单元中心HTC有限体积格式，该格式采用同位网格并与总能量守恒定律相容，但不满足对合约束。其次，我们开发了一种全离散半隐式有限体积格式，该格式既守恒总能量，又能被证明在离散层面精确满足对合约束。该方法是一种基于顶点的交错网格半隐式格式，它能在离散层面精确保持基本向量恒等式$\nabla \cdot \nabla \times A = 0$和$\nabla \times \nabla \phi = 0$（分别对任意向量场和标量场成立），并且也是精确总能量守恒的。所提隐式格式的主要关键要素在于，它使用了控制偏微分方程组的对称双曲Godunov形式的离散版本。这自然导致在每个时间步使用的迭代不动点方法中，需要求解一系列对称正定线性代数系统。我们将新格式应用于三个不同的SHTC系统。特别地，我们考虑了非线性声学方程、无电荷情况下的非线性麦克斯韦方程以及非线性麦克斯韦-GLM系统。我们还展示了一些数值结果，以证明所提格式的所述性质。